Признаки Дирихле и Абеля для несобственных интегралов

Если: - $f(x)$ и $g(x)$ интегрируемы на $[a, b'] ~~\forall{b' \in [a, b)}$ - $f(x)$ - непрерывна, $F(x)$ - первообразная $f(x)$ - $F(x)$ - ограничена - $g(x)$ - непрерывно дифференцируема - $g(x) \underset{x \to b-0}{\longrightarrow} 0$ монотонно Тогда $\int\limits_{a}^{b} f(x)g(x) \, dx$ - сходится.

Проверим условия интегрирования по частям: **Условие 1** $\lim_{x \to b-0} F(x)g(x) = 0$, так как $F(x)$ - ограничена, а $g(x) \to 0$ **Условие 2** $$\begin{align} \int_{a}^{b} |F(x)g'(x)| \, dx &\leq M \int_{a}^{b} |g'(x)| \, dx =^{*} M \left| \int_{a}^{b} g'(x) \, dx \right| = \\ &= M \left|\lim_{x \to b-0} g(x) - g(a) \right| = M|g(a)| \end{align} $$ $*$ - можем убрать модуль из монотонности $g(x)$. Следовательно $\int\limits_{a}^{b} F(x)g'(x) \, dx$ - сходится. Значит: $\int\limits_{a}^{b} f(x)g(x) \, dx$ - сходится. $\square$

Если: - $f(x)$ - непрерывна на $[a, b)$, $F(x)$ - её первообразная - $F(x) \underset{x \to b-0}{\longrightarrow} A$ - $g(x)$ - непрерывно дифференцируема - $g(x) \underset{x \to b-0}{\longrightarrow} \alpha$ монотонно Тогда $\int\limits_{a}^{b} f(x)g(x) \, dx$ сходится.

Рассмотрим $h(x) = g(x) - \alpha {}$. Ясно, что $h(x) \underset{x \to b-0}{\longrightarrow} 0$ монотонно, а значит по признаку Дирихле сходится: $$\int_{a}^{b} f(x)h(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(x)(g(x) - \alpha) \, dx$$ Так как: $$\int_{a}^{b} \alpha f(x) \, dx = \alpha F(x) \Bigg|_{a}^{b} = \alpha(A - F(a))$$ То по линейности сходится и: $$\int_{a}^{b} f(x)g(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(x)h(x) \, dx + \int_{a}^{b} \alpha f(x) \, dx$$ $\square$